«Формулировка квантовой механики через соотнесенные состояния» (Хью Эверетт.1957 год)

 

Английский текст: http://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/Everett/paper1957.html 

 

    В качестве аналогичного, взят перевод :

http://www.chronos.msu.ru/lab-kaf/Lebedev/lebed-bibliot.html , который с английским текстом статьи был сверен полностью. Группировка текста перевода взята из оригинального английского текста, с одним уточнением: авторские примечания Эверетта помещены в конец перевода. Поскольку приведённый ниже перевод по трактовке некоторых положений статьи Эверетта, разошелся с аналогичным переводом, приведенным в ссылке, данный перевод мы считаем самостоятельной отдельной публикацией в Интернете.

 

Перевод выполнен в декабре 2008 – январе 2009 года.

Авторы приведённого ниже перевода:

к.ф.-м.н. Сергей Старцев (г.Москва) sastartsev@bk.ru

Андрей Конышев (г.Ирбит) natkon.and@mail.ru

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Обзоры современной физики
ТОМ 29. ВЫПУСК 3. ИЮЛЬ. 1957

 

«Формулировка квантовой механики через соотнесенные состояния»

 

Хью Эверетт. 
Пальмеровская физическая лаборатория, Принстонский университет, Принстон, штат Нью-Джерси.
___________________________
Тема докторской диссертации представленная в Принстонском университете в марте 1957 года. Ранее план диссертации был послан нескольким физикам, чьи замечания автором были учтены. Д-р Н.Бор, д-р Грюневальд, д-р Петерсон, д-р А. Стерн, профессор Л.Розенфельд сообщили, что являются свободными от любой ответственности по поводу её содержания, но они тепло поблагодарили автора за полезную статью, которую они получили. Выражается, в частности, особая благодарность профессору Дж.А.Уилеру за его руководство и ободрение. Выражается также признательность Национальному Фонду Науки за поддержку.

1. ВВЕДЕНИЕ.

  Задача квантования в общей теории относительности поднимает серьезные вопросы о смысле нынешней формулировки и интерпретации квантовой механики в тех случаях, когда она применяется к таким понятиям, как пространственно-временная геометрия. Эта статья направлена на уточнение формулировок квантовой механики. Она представляет собой попытку переформулировки положений квантовой теории к форме, которая оказалась бы пригодной для её применения в общей теории относительности.
  Целью работы является: не отказываться или противоречить обычным формулировкам квантовой теории, которая продемонстрировала свою полезность в подавляющем решении разнообразных проблем, а скорее на постановку нового, более общего и полного подхода, из которого может быть выведена иная интерпретация положений квантовой теории.
  Местом этой новой формулировки, по отношению к уже имеющимся ранее формулировкам квантовой теории, является то обстоятельств, что в предложенной трактовке, сущность, а также сферы применения имеющейся теории, могут быть уточнены и исследованы.

  Новая теория не основывается, на каких-либо радикальных отходах от обычных формулировок квантовой теории. Специальные постулаты в имеющейся квантовой теории, которые связаны с «наблюдениями», в новой теории опущены. Измененная таким образом теория приобретает новый характер. Это должно быть проанализировано и для себя, прежде чем какая-либо идентификация станет возможным между тем, что показала теория и тем, что показывает эмпирический опыт. Идентификация, когда она будет сделана, приведёт к отказу от постулатов традиционной теории, которые связаны с наблюдениями, разъяснит их роль и логическую позицию.
  Мы начинаем с краткого обсуждения обычной теории, и с обсуждения некоторых из причин, которые послужат мотивацией для внесения  изменений в существующую квантовую теорию.

 

2. Область применимости понятия "внешних наблюдений" в имеющихся формулировках квантовой механики.

Мы пользуемся  понятием "внешнее наблюдение" в формулировках квантовой механики в основном по [1]: «состояние физической системы полностью описывается волновой функцией состояния ψ, которая является вектором элементом гильбертова пространства, и которая дает информацию только о вероятностях результатов, которые могут быть сделаны над системой внешними наблюдателями. Существуют два принципиально разных способа, которыми может быть изменена функция состояния.

Способ 1: Прерывное скачкообразное изменение, произведенное над величиной с множеством собственных значений φ₁, φ₂ ,…,в результате которого состояние ψ будет изменено на состояние φ_i, с вероятностью | (ψ, φ_i) | ²

Способ 2: Непрерывное, детерминированное изменение состояния изолированной системы с течением времени в соответствии с волновым уравнением:

d ψ / d t = A ψ, где A - это линейный оператор

   Эта формулировка подходит для описания богатого эмпирического опыта. Нет экспериментальных свидетельств, противоречащей ей. Но не все мыслимые ситуации, вписываются в рамки этой математической формулировки. Рассмотрим для примера изолированную систему, состоящую из наблюдателей (или измерительного прибора), а также изучаемой  системы. Может ли изменение во времени состояния объединённой системы быть описано способом 2? Если да, то тогда, скачкообразный вероятностный процесс по способу 1 не реализуем. Если нет, то тогда мы вынуждены признать, что системы, которые содержат наблюдателей, не подпадают под действие того же рода квантово-механического описания, как мы это признали бы для всех других физических систем. Этот вопрос не может быть исключенным, как лежащий в области психологии.  Значительная часть обсуждений "роли наблюдений" в квантовой механике сводится к учету влияния, на квантово-механический процесс, фотоэлектрических ячеек, фотографических пластин, и аналогичных устройств, где механистическая позиция вряд ли может быть оспорена. В дальнейшем можно ограничиться  этим классом проблем, если рассматривать «наблюдателей» в более привычном смысле, на том же самом механистическом уровне анализа.
   Какую же взять интерпретацию, из смеси способов 1 и 2, если следовать обычным формулировкам квантовой механики, применительно к тем случаям, когда произведено лишь приблизительное измерение: то есть, если прибор (или наблюдатель) взаимодействует с объектом системы слабо и в течение ограниченного времени? В случае такого приблизительного измерения квантовая теория должна определить: 1) новое состояние системы объекта, которое соответствует всякому частному результату, зафиксированному прибором; 2) вероятность, с которой этот результат будет получен. Фон Нейман показал, как обращаться с этими приближенными измерениями с помощью метода операторов проектирования[2].  Каким образом можно применить обычные разработки квантовой механики к геометрии пространства-времени? Проблема становится особенно острой в случае замкнутой вселенной [3]. В этом случае внешнее наблюдение просто-напросто теряет всякий смысл. Вовне нет ничего, что могло бы быть причиной перехода от одного состояния к другому. Даже знакомая концепция энергетического состояния становится абсолютно неприменимой. В выводе закона сохранения энергии полная энергия определяется посредством интеграла, который берется по достаточно большой поверхности, чтобы включить все части системы и их взаимодействия  [4]. Но в замкнутом пространстве, когда поверхность

включает все больше и больше объема, она, в конечном счете, исчезает в ничто. Попытки определить полную энергию для замкнутого пространства сводятся к пустому утверждению о том, что нуль равняется нулю. Однако в дальнейшем будет показано (см. раздел 4 настоящей статьи), что общая трактовка всех приблизительных измерений методом операторов проектирования невозможна.

 

3. ВНУТРЕННЯЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ИЗОЛИРОВАННОЙ

СИСТЕМЫ.

 

   Эта статья предлагает признать чистую волновую механику (только способ 2) как полную теорию. Она постулирует, что волновая функция подчиняется линейному уравнению везде и всегда обеспечивает полную математическую модель для любой изолированной системы без исключения. Далее она  постулирует, что каждая система, которая подвергается внешнему наблюдению, может рассматриваться как часть большей изолированной системы.

   Волновая функция рассматривается  как основная  физическая  сущность  без априорной интерпретации. Интерпретация появляется только после исследования логической структуры теории. Здесь, как всегда, сама теория устанавливает структуру для ее интерпретации [5] .

    Как квантовое описание замкнутой Вселенной, для приближенных измерений, и системы, содержащей наблюдателя всё же будет сделано? Эти три вопроса имеют одну общую особенность, поскольку все они требуют такую квантовую механику, которая является внутренней по отношению к изолированной системе. У обычной формулировки квантовой механики не существует ясного пути применения к системе, которая не является субъектом внешнего наблюдения. Вся интерпретирующая схема этого формализма опирается на понятие внешнего наблюдения. Вероятности возможных различных результатов наблюдения получаются  исключительно Способом 1. Без этой части формализма вообще нет никакого средства, чтобы приписать физическую интерпретацию обычным механизмам. Но Способ 1 находится вне рассмотрения для систем, не подверженных внешнему наблюдению.

    Для любой интерпретации необходимо привести математическую модель теории в соответствие с опытом. Для этого необходимо сформулировать абстрактные модели наблюдателей, которые сами по себе, в пределах теории, могут трактоваться как физические системы, и затем рассмотреть изолированные системы, содержащие модельных наблюдателей во взаимодействии с другими подсистемами, выявить изменения, которые происходят в наблюдателе вследствие взаимодействия с ближайшими подсистемами, и интерпретировать изменения на знакомом языке опыта. В разделе 4 исследуются представления состояния сложной системы в терминах состояний составляющих подсистем. Математика принуждает осознать понятие «соотнесённых состояний» в следующем смысле: нельзя считать, что составляющая подсистема, независимо от остальной части сложной системы, может находиться в каком-либо единственном четко определенном состоянии. Любому произвольно выбранному состоянию одной подсистемы будет соответствовать единственное «соотнесенное состояние» остальной части сложной системы. Это «соотнесенное состояние» обычно будет зависеть от выбора состояния для первой подсистемы. Таким образом, состояние одной подсистемы не имеет независимого существования, но определяется только состоянием остающейся подсистемы. Другими словами, состояния, занятые подсистемами, не независимые, но коррелированные. Такие корреляции между системами возникают всякий раз, когда системы взаимодействуют. В существующей формулировке все процессы измерения и наблюдения должны расцениваться просто как взаимодействия между вовлеченными в эти процессы физическими системами - взаимодействия, которые порождают сильные корреляции. С этой точки зрения анализируется простая, по Фон Нейману, модель измерения. В разделе 5 дается абстрактная трактовка проблемы наблюдения. В нем используется только принцип суперпозиции и  общие правила, по которым сложные состояния системы формируются из состояний подсистем для того, чтобы результаты имели максимальную общность и  были применимы к любой форме квантовой теории, в которой соблюдаются эти принципы. Получены выводы о состоянии наблюдателя соотнесенное с состоянием  объекта. Установлено, что восприятия наблюдателя (ленты магнитной памяти, вычислительной системы, и т.д.) находятся в полном согласии с предсказаниями формулировки квантовой механики, основанной на Способе 1, для обычного "внешнего наблюдателя". Раздел 6 резюмирует формулировку квантовой механики в терминах "соотнесенных состояний".

 

4. КОНЦЕПЦИЯ СООТНЕСЕННОГО СОСТОЯНИЯ

 

   Теперь мы исследуем некоторые следствия формализма волновой механики сложных систем. Если сложная система S состоит из двух подсистем  S₁ и  S₂ , связанных с Гильбертовыми пространствами H₁ и H₂ , то, согласно обычному формализму сложных систем, Гильбертово пространство для S считается тензорным произведением H₁ и H₂

(записывается как H = H₁  ø H₂). Из этого следует, что, если множества

{x_i^S₁} и {h_j^S₂} - полные наборы ортонормированных состояний для S₁ и  S₂ соответственно, то общее состояние S может быть написано как суперпозиция:

y ^S = ∑_i,j a_ij x_i^S1 h_j^S2.                                                               (1)

     Из (3.1) следует, что, хотя S находится в определенном состоянии y ^S подсистемы S₁ и S₂  не обладают каким-то подобным определенным состоянием независимо друг от друга (кроме специального случая, при котором все, кроме одного a_ij, равны нулю.

Однако мы можем для любого выбранного состояния в одной подсистеме, единственным образом определить соответствующее «соотнесенное состояние» в другой подсистеме. Например, если мы выбираем x_k как состояние для S₁ ,  в то время как сложная система S находится в заданном (3.1) состоянии y ^S, тогда соответствующее соотнесенное состояние в S₂,)

y (S₂; relx_k, S₁) будет равно:

y (S₂; relx_k, S₁) = N_k ∑ _j a_kj h_j^S2                            (2)

где N_k - постоянная нормировки. Это «соотнесенное состояние» x_k не зависит от выбора базиса  {x_i} (i ¹ k) по отношению к ортогональному дополнению x_k, и, следовательно, единственным образом определяется только с помощью x_k.  При нахождении «соотнесенного состояния» в S₂ для произвольного состояния S₁, просто выполняется вышеупомянутая процедура с использованием любой такой пары базисов для S₁ и  S₂, которая содержит желательное состояние как один из элементов базиса для S₁. Чтобы найти соотнесенные состояния в S₁ относительно состояний в S₂ , нужно поменять S₁ и S₂  в описанной процедуре.

    В обычной формулировке квантовой механики (при "внешнем наблюдении"), соотнесенное состояние в S₂ , y (S₂; relf, S₁), для состояния f ^S1  в  S₁,  дает распределения условных вероятностей для результатов всех измерений в S₂ , при условии, что S₁ был измерен и найден в состоянии f ^S1  ,  то есть, что f ^S1  – собственная функция измерения в S₁ , соответствующая наблюдаемому собственному значению. Для любого выбора базиса в S₁ , {x_i}, всегда возможно представить состояние S (по 1) , как единственную суперпозицию пар состояний, каждая из которых построена из состояния базиса

{x_i} в S₁ и его соотнесенного состояния в S₂. Таким образом, исходя из (2), соотношение (ф.1) может быть записано:                                             

y^S = ∑_i - x_i^S₁ y (S₂; relx_i, S₁).                       (3)

Это – часто используемое важное представление.

    Суммируя, в общем случае не существует какого-либо единственного состояния одной подсистемы сложной системы. Подсистемы не обладают состояниями, которые являются независимыми от состояний остальной части системы, так что состояния подсистем в общем случае коррелируют друг с другом. Можно произвольно выбрать состояние для одной подсистемы, что приведет к «соотнесенному состоянию» для остальной части. Таким образом, мы сталкиваемся с фундаментальной  соотнесенностью состояний, которая подразумевается формализмом сложных систем. Бессмысленно спрашивать об абсолютном состоянии подсистемы - можно только спросить о данном состоянии относительно остальной части системы.

    Теперь мы рассматриваем простой, по Фон Нейману, пример, который служит моделью процесса измерения. Обсуждение этого примера подготавливает почву для анализа "наблюдения". Мы начинаем анализ с системы, имеющей: одну координату объекта q (положение частицы), и прибор с одной координатой  r (например, положение измерительной стрелки). Предположим далее, что первоначально они независимы, так что объединенная волновая функция имеет вид y₀ ^S+A  = f(q) h (r) , где f(q) - начальная волновая функция системы, и h (r) - начальная приборная функция. Гамильтониан  таков, что эти две системы не взаимодействуют никогда, кроме как в интервале времени от t = 0 до t = T,  в течение которого полный Гамильтониан состоит только из простого взаимодействия:

 

            H_I  =  - iћq (d/dr).                                            (4)

 

 Тогда состояние:         

 

 

           y_t ^S+A (q,r) = f(q) h (r - qt)                                          (5)

 

 

 является решением уравнения Шредингера:

 

 

          iћ(dy_t ^S+A / dt) = H_Iy_t ^S+A,                                      (6)

 

для указанных начальных условий  t =0.  Из  (5) следует, что для t = T  (момент времени, когда взаимодействие прекращается), нет больше, ни какого-либо определенного независимого приборного состояния, ни какого бы то ни было независимого состояния системы. Поэтому прибор не указывает никакого определенного значения измеряемого параметра системы объекта, и ничего подобного Способу 1 не происходит. Однако мы можем рассмотреть полную волновую функцию (5) как суперпозицию пар состояний подсистем, каждый элемент которых имеет определенное значение q частицы, и соответствующее изменённое состояние прибора. Таким образом, после взаимодействия состояние (5) имеет форму:

 

         y_T ^S+A = ∫f(q')d(q - q')h (r - q'T)dq' ,              (7)

 

которая является суперпозицией состояний y_q' = d(q - q')h (r - q'T) .  Каждый из таких элементов суперпозиции y_q' описывает состояние, в котором система имеет определенное значение q = q' , и в котором прибор имеет состояние, смещенное из начального состояния на величину q'T. Полное состояние (7), опеределяется принципом через элементы y_q с коэффициентами f(q') И наоборот, если мы стремимся к представлению, при котором определенной является приборная координата, мы запишем выражение (5) как

 

y_T^S+A = ∫ (1/N_r')x ^r' (q)d(r - r') dr' ,

 

где

         x ^r' (q) = N_r'f(q)h (r' - qT)                                   (8)

и

 

(1/N_r')²  = ∫f*(q) f(q)h*( r' - qT) h (r' - qT)dq

 

 

  Тогда x ^r'(q) является функцией состояния системы [6] , соотнесенной с состоянием прибора d(r - r')  для точного значения r = r'.  Если T является достаточно большим ( или h(r) достаточно тонким  (близким к d(r)),  тогда x^r'(q) - почти d(q - r'/T)  ), и тогда состояния «соотнесенной системы» x ^r' (q ) - почти собственные состояния для значений  q = r'/T.

   Мы видели, что выражение (8) – это суперпозиция состояний y_r', для каждого из которых прибор сделал запись определенного значения r'  , и система осталась приблизительно в собственном состоянии измерения, соответствующем q = r'/T . Таким образом, дискретный "скачок" в собственное состояние есть только относительное суждение, зависящее от способа разбиения полной волновой функции в суперпозицию, и относительно конкретно выбранной соответствующей приборной координаты. Так что полная теория показывает, что все элементы суперпозиции существуют одновременно, и полный процесс совершенно непрерывен.

    Пример Фон Неймана - только специальный случай более общей ситуации. Рассмотрите любой измерительный прибор, взаимодействующий с любым  объектом. В результате взаимодействия состояние измерительного прибора больше не способно к независимому определению. Оно может быть проведено только относительно состояния системы объекта. Другими словами,  существует только корреляция между состояниями этих двух систем. Казалось бы, ничто не может быть получено  таким измерением. Такое неопределенное поведение, представляется совершенно отличным от наших наблюдений, так как физические объекты всегда представляются нам находящимися в определенных положениях. Сможем ли мы примирить с опытом усовершенствованную волновую механику, основанную исключительно на Способе 2, или следует отказаться от теории, как несостоятельной? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим проблему наблюдения непосредственно в рамках структуры теории.

 

5. НАБЛЮДЕНИЕ

 

    Мы имеем задачу составления суждения о явлении феноменов наблюдателей, которые в пределах теории рассматриваются просто как физические системы. Чтобы этого достигнуть, необходимо отождествить некоторые свойства такого наблюдателя в настоящем с особенностями его прошлого опыта. Таким образом, чтобы сказать, что наблюдатель 0 наблюдал событие  a , необходимо, чтобы состояние 0 изменилось от его прежнего состояния к новому, которое зависит от a . 

     Для наших целей будет достаточно полагать, что наблюдатели обладают памятью (то есть имеют в своей структуре части, относительно постоянной природы, состояния которых находятся в соответствии с прошлым опытом наблюдателей). Для того чтобы судить о прошлом опыте наблюдателя, достаточно установить, насколько это возможно в пределах математической модели, существующее содержание его памяти.

    В качестве модели для наблюдателей мы, если пожелаем, можем рассматривать автоматически функционирующие машины, обладающие чувствительным датчиком, связанным с регистрирующим устройством и способные к регистрации прошлых сенсорных данных и конфигураций машины. Мы можем далее предположить, что машина устроена так, что ее текущие действия должны быть определены не только сенсорными данными настоящего момента, но также и содержанием ее памяти. Тогда такая машина будет способна к выполнению последовательности наблюдений (измерений), и, более того, к принятию решения о ее будущих экспериментах, на основе прошлых результатов. Если мы положим, что текущие сенсорные данные, так же как конфигурация машины, немедленно регистрируются памятью, то действия машины в данный момент могут быть расценены как функция только содержимого её памяти, в которой содержится весь необходимый опыт машины.

     Для таких машин оправдано использование фраз типа "машина ощущает А", или "машина знает А", если явление A представлено в памяти, так как будущее поведение машины будет основано на явлении A. Как хорошо известно людям, работающим со сложными автоматами, фактически весь общепринятый язык субъективного опыта полностью применим к таким машинам, и, образует самый естественный и полезный способ выражения в случаях, когда мы имеем дело с их поведением.

    Когда мы имеем дело с системой, в которой наблюдатель представлен как квантово-механическая система (КМС), мы приписываем ему функцию состояния y ⁰ . Когда состояние y ⁰ описывает наблюдателя, память которого содержит представления событий A,B,...,C мы обозначаем этот факт, вводя последовательность памяти как дополнение в скобках, и записываем:

              y ⁰ _{[A, B,  , C]}                                                     (9)

    Поэтому символы A,B,...,C , выстроенные во временном порядке, символизируют конфигурации памяти, находящиеся в соответствии с прошлым опытом наблюдателя. Эти конфигурации могут рассматриваться как отверстия в бумажной ленте, следы на магнитном барабане, конфигурации переключающих реле, и даже как конфигурации ячеек мозга. Мы только требуем, чтобы они были способны к интерпретации: "наблюдатель испытал последовательность событий A,B,...,C (Мы иногда пишем точки в последовательности памяти, ...A,B,...,C , указывая возможное присутствие предыдущих воспоминаний, которые являются несоответствующими рассматриваемому случаю.)

    В рамках структуры Способа 2 волновой механики, математическая модель стремится рассмотреть взаимодействие таких систем наблюдателя с другими физическими системами (наблюдаемыми), и вывести получающиеся конфигурации памяти, которые, в этом случае, должны интерпретироваться как записи прошлых опытов наблюдателей. Мы начнем с определения того, что представляет собой "хорошее" наблюдение. Хорошее  наблюдение величины A, имеющей собственные функции f _i, в системе S , наблюдателем, начальное состояние которого y ⁰ , состоит во взаимодействии, которое, в указанном промежутке времени, преобразует каждое (полное) состояние

 

              y ^S+0 = f_i y ⁰_{[. . .]}                                                  (10)

 

в новое состояние:

 

             y ^S+0' = f_i y ⁰_{[. . .ai]}                                                (11)

 

где a_i  характеризует [7] состояние f_i. (Символ a_i  может , например, обозначать регистрацию собственного значения). Таким образом:

   во-первых: мы требуем, чтобы состояние системы, если это собственное состояние, оставалось неизменным; 

   во-вторых: чтобы состояние наблюдателя изменилось так, чтобы описать наблюдателя, который "знает", из какой собственной функции оно получено; то есть, в памяти наблюдателя зарегистрирована некоторая характеристика типа собственного значения, которая присуща f_i, .

Требование, чтобы собственное состояние системы оставалось неизменным, необходимо, если наблюдение должно быть многократно повторено. А требование, чтобы наблюдатель устанавливал изменение способом, который отличается для каждой собственной функции, необходимо, если мы можем назвать это взаимодействие наблюдением  вообще. Насколько близко обычное взаимодействие удовлетворяет определению хорошего наблюдения, определяется, во-первых, особенностями зависимости взаимодействия от динамических переменных системы наблюдателя - включая переменные памяти - и динамическими переменными системы объекта, и, во-вторых, начальным состоянием системы наблюдателя. Учитывая оба фактора, можно, например, решить волновое уравнение, вывести состояние сложной системы после окончания взаимодействия, и проверить, остается ли система объекта в собственном состоянии, как того требует постулат воспроизводимости. Этому постулату удовлетворяет, например, модель Фон Неймана, которая обсуждалась выше.

    Сначала, исходя из определения хорошего наблюдения, мы установим результат наблюдения системы, которая не находится в собственном состоянии наблюдения. Из нашего определения мы знаем, что  взаимодействие преобразует состояния f_i y ⁰_{[. . .]}   в состояния f_i y ⁰_{[. . .ai]} Следовательно, эти решения волнового уравнения могут быть объединены  в суперпозицию, дающую конечное состояние для случая произвольного начального состояния системы. Таким образом, если начальное состояние системы не является собственным, а общим состоянием S_ia_if_i, , полное конечное состояние будет иметь форму:

 

            y^S+0' = ∑_i a_i f_i y ⁰ _{[. . .ai]}                                               (12)

 

Продолжим применение этого принципа суперпозиции в присутствии дополнительных систем, которые не взаимодействуют с исследуемой КМС в течении времени измерения. Таким образом, если системы S₁, S₂, ^{. . .} , S_n присутствуют так же как 0, с оригинальными состояниями y^S₁, y^S₂, ^{. . .} , y^S_n, а единственное, в течение времени измерения, взаимодействие имеет место между S₁ и 0, измерение преобразует полное начальное состояние:

 

             y^S₁ ^{+ S}₂ ^{+ . . . + S}_n^{+ 0} = y^S₁y^S₂ ^{. . .}y^S_n,y⁰[^{. . .}]                           (13)

 

в конечное состояние:

 

             y ^'S₁ ^{+ S}₂ ^{+ . . . + S_n+ 0} = ∑_ia_if_i ^S₁y^S₂ ^{. . .}y^S_n,y⁰[^{. . .}a_i]                   (14)

 

 

где a_i = (f_i ^S₁,y^S₁) и f_i ^S₁  – собственные функции наблюдения. Таким образом, мы приходим к общему правилу для преобразования полных функций состояния систем, в пределах которых происходят процессы наблюдения:

 

Правило 1:  Наблюдение величины A с собственными функциями f_i ^S₁ в системе S₁ наблюдателем 0, преобразует полное состояние согласно схеме:

y^S₁y^S₂ ^{. . .}y^S_ny⁰[^{. . .}]

 

   ® S_ia_if_i ^S₁y^S₂ ^{. . .}y^S_n,y⁰[^{. . .}a_i]                                                              (15)

 

где: a_i = (f_i ^S₁,y^S₁)

 

Если теперь предположить, что сделано второе наблюдение в случае, когда наше полное состояние является суперпозицией, мы можем применить Правило 1 отдельно к каждому элементу суперпозиции, так как каждый элемент, отдельно подчиняется волновому уравнению и ведет себя независимо от остающихся элементов. После этого, затем его результаты представим также в суперпозиции для получения окончательного решения. Сформулируем это так:

 

Правило 2: Правило 1 может быть применено отдельно к каждому элементу суперпозиции полных состояний системы, а результаты, будучи включёнными в суперпозицию, дадут полное конечное состояние. Таким образом, определение величины B, с собственными функциями h_j^S₂,^ , в состоянии S₂ наблюдателем 0 преобразует полное состояние

 

       ∑_ia_if_i ^S₁y^S₂ ^{. . .}y^S_n,y⁰[^{. . .}a_i]                                                                            (16)

 

в состояние:

 

       ∑_i,j a_i b_j f_i ^S₁h_j^S₂y^S₂ ^{. . .}y ^S_n,y ⁰ [^{. . .}a_i,b_j]                                                     (17)

 

где b_j = (h _j^S₂,y ^S₂) , которое следует из применения Правила 1 к каждому элементу

f_i ^S₁y^S₂ ^{. . .}y ^S_n,y ⁰[^{. . .}a_i] , и затем располагает в суперпозицию полученные результаты с коэффициентами a_i.

 

Эти два правила, которые непосредственно следуют из принципа суперпозиции, дают  удобный метод для определения полных конечных состояний для любого числа процессов наблюдения в любых комбинациях. Теперь мы обратимся к интерпретации таких полных конечных состояний. Рассмотрим простой случай единственного наблюдения величины A с собственными функциями f_i  в системе S с начальным состоянием y ^S, и наблюдателем 0, чье начальное состояние y ⁰_{[. . .]} . Конечным результатом будет, как мы видели, суперпозиция

           y ^{'S + 0} = ∑_ia_if_i y ⁰ _{[. . .ai]}                                                                         (18)

И нет больше никакого независимого состояния системы или состояния наблюдателя, хотя оба состояния стали коррелированы друг с другом. Однако в каждом элементе суперпозиции f _iy  ⁰ _{[. . .ai]} состояния системы объекта есть особенное собственное состояние наблюдения, и, более того, состояние системы наблюдателя описывает наблюдателя как определенно осознающего именно это особенное состояние системы. Эта корреляция состоит в том, что позволяет поддерживать интерпретацию взаимодействия как выполненного измерения. Рассмотрим теперь ситуацию, при которой наблюдательная система входит во взаимодействие с системой объекта во второй раз. Согласно Правилу 2 мы приходим к следующему полному состоянию после второго наблюдения:

           y ^{''S + 0} = ∑_ia_if_i y ⁰ _{[. . .ai,ai]}                                                                             (19)

Снова каждый элемент f_i y ⁰_{[. . .ai,ai]} описывает собственное состояние системы, но на сей раз он также описывает и наблюдателя, как получившего тот же самый результат для каждого из этих двух наблюдений. Таким образом, для каждого отдельного состояния наблюдателя в конечной суперпозиции результат наблюдения повторим, даже притом, что

отличается для различных состояний. Эта воспроизводимость – следствие того факта, что после наблюдения, «соотнесенное состояние» системы для специфического состояния наблюдателя, является соответствующим собственным состоянием. Теперь рассмотрим другую ситуацию. Наблюдательная система 0, с начальным состоянием y ⁰_{[. . .]} , измеряет одну и ту же величину А во множестве отдельных идентичных систем, которые первоначально находятся в одном и том же состоянии,

y ^S₁  =y ^S₂ = ^{. . .} = y ^S_n = ∑ a_if_i  (где f_i , как обычно, собственные функции A). Тогда полная начальная функция состояния имеет вид:

          y₀^S₁ ^{+ S}₂ ^{+ . . . + S}_n^{+ 0} = y^S₁y^S₂ ^{. . .yS}_ny⁰[^{. . .}]                                       (20)

Мы предполагаем, что измерения выполнены на системах в последовательности

S₁, S₂, ^{. . .} ,S_n.  Тогда, согласно Правилу 1, полное состояние после первого измерения будет:

         y₁^S₁ ^{+ S}₂ ^{+ . . . + S_n+ 0} = ∑_ia_if_i ^S₁y^S₂ ^{. . .yS}_n,y⁰[^{. . .}a_i¹]                            (21)

 

(где a_i¹ относится к первой системе, S₁ ). После второго измерения полное состояние, по Правилу 2, будет:

         y₂^S₁ ^{+ S}₂ ^{+ . . . + S_n+ 0}= ∑_i,jai a_j f_i ^S₁f_j^S₂y^S₃ ^{. . .}y^S_n,y⁰[^{. . .} a_i¹_, a_j²]     (22)

И вообще, после проведения r измерений (r £ n) , Правило 2 дает результат:

         y_r = ∑_{i,j, ... k} a_i a_j ^{. . .} a_k f_i ^S₁f_j^S₂y^S₃ ^{. . .}y^S_n,y⁰[^{. . .} a_i¹_, a_j²]             (23)

Мы можем дать этому состоянию, y_r , следующую интерпретацию. Оно состоит из суперпозиции состояний:

         y ^'_{ij . . . k  =} f_i ^S₁f_j^S₂ ^{. . .} f_k ^S_ry^S_r+1 ^{. . .}y^S_ny⁰[a_i¹_, a_j^{2. . .} a_k^r]                 (24)

каждое из которых описывает наблюдателя в определенной последовательности памяти

[a_i¹_,a_j^{2. . .} a_k^r]. Соотнесенные с ним (наблюдаемые) состояния системы имеют соответствующие собственные функции f_i^S₁,f_j^S₂, ^{. . .} ,f_k^S_r  , а остающиеся системы

S₁, S₂, ^{. . .} ,S_n  неизменны.+

     Типичныйэлемент y^'_{ij ... k} , в конечной суперпозиции, описывает такое состояние, при котором наблюдатель, очевидно, подчинялся случайной последовательности определенных результатов в процессе наблюдений. Кроме того, объектные системы оставались в соответствующих собственных состояниях наблюдения. На данном этапе предположим, что возможно повторное определение более раннего наблюдения системы (S_l) . Из этого следует, что каждый элемент получающейся конечной суперпозиции опишет наблюдателя с конфигурацией памяти формы [a_i¹_, ^{. . .}a_j^l_, ^{. . .}a_k^r_,a_j^l] ,  в которой более ранняя память совпадает с более поздней, то есть, состояния памяти коррелированны. Таким образом, наблюдателю будет казаться, что каждое начальное наблюдение системы заставляет её "перескакивать" в собственное состояние случайным образом и после этого оставаться там для последующих измерений в том же состоянии, как описано конкретным элементом суперпозиции. Поэтому – оставив в настоящий момент в стороне количественные вопросы относительных частот – вероятностные утверждения Способа1 представляются обоснованными наблюдателю, описанному конкретным элементом заключительной суперпозиции.

    Таким образом, мы получаем следующую картину: в продолжение всей последовательности процессов наблюдения есть только одна физическая система, представляющая наблюдателя, хотя и нет никакого единственного уникального состояния наблюдателя (это следует из формализма взаимодействующих систем). Есть, однако, представление в виде  суперпозиции, каждый элемент которой содержит определенное состояние наблюдателя и соответствующее состояние системы. Таким образом, с каждым последующим наблюдением (или взаимодействием), наблюдатель "ветвится" во множество различных состояний. Каждая ветвь представляет собой иной результат измерения и соответствующего собственного состояния системы объекта. Все ветви существуют одновременно в суперпозиции после любой данной последовательности наблюдений.

   Таким образом, "траектория" конфигурации памяти наблюдателя, выполняющего последовательность измерений, не есть линейная последовательность конфигураций памяти, а ветвящееся дерево, со всеми возможными результатами, существующими одновременно в конечной суперпозиции с различными коэффициентами в математической модели. В любом известном запоминающем устройстве вследствие ограниченной емкости его памяти ветвление не продолжается бесконечно, но должно остановиться в некоторой точке. Чтобы установить количественные результаты, мы должны приписать некоторого рода меру (весовой коэффициент) элементам конечной суперпозиции. Это необходимо для того, чтобы быть в состоянии сделать утверждения, содержащие в себе описания почти всех состояний наблюдателя через элементы суперпозиции. Мы хотим делать количественные  утверждения об относительных частотах возможных различных результатов наблюдения, которые зарегистрированы в памяти типичного состояния наблюдателя; но для достижения этого мы должны иметь метод выбора типичного элемента из суперпозиции ортогональных состояний.

   Поэтому рассмотрим общую схему установления меры для элементов суперпозиции ортогональных состояний S a_i f_i. Нам требуется положительная функция m от комплексных коэффициентов элементов суперпозиции, такая, чтобы m(a_i)  была мерой, назначенной элементу f_i.  Для того, чтобы эта общая схема была однозначной, мы должны, прежде всего, потребовать, чтобы сами состояния всегда были нормированы так, чтобы мы могли отличить коэффициенты от состояний. Пока, однако, мы можем определять коэффициенты, в отличие от состояний, только с точностью до произвольного фазового множителя. Поэтому, чтобы избежать двусмысленностей, функция m должна быть функцией только амплитуд коэффициентов , m(a_i) = m(|a_i|) Теперь мы налагаем требование аддитивности. Мы можем рассмотреть выборку суперпозиции скажем

 n

∑a_if_i как единственный элемент af^' :

                              n

af^'  = ∑ a_if_i .                                                            (25)

                              i = 1

 

Затем  мы потребуем, чтобы мерой, установленной для f^' , была сумма мер, установленных для f_i (i от 1 до n)):

 

                                n

        m(a) = ∑ m(a_i).                                                                               (26)

                             i = 1

 

Тем самым мы свели выбор m только к квадрату амплитуды; другими словами, мы имеем

m(a_i) = a_i*a_i без постоянного сомножителя. Чтобы убедиться в этом, отметим, что нормированность  озиции ителяf^' требует чтобы |a| = (Sa_i*a_i)^{1/2  И}сходя из наших замечаний о зависимости m только от амплитуды, мы заменяем a_i  их амплитудами u_i = |a_i|  Тогда уравнение

(26) налагает требование

 

m(a) = m(∑a_i*a_i)^1/2 = m(u_i²)^1/2  = ∑ m(u_i) = ∑ m(u_i²)^1/2               (27)

 

 

Определяя новую функцию g(x):

 

                   g(x) = m(Öx)                                                       (28)

 

 

мы видим, что (27) требует чтобы

 

                   g(Su_i²) = ∑ g(u_i²)                                                                        (29)

 

Таким образом, g сводится к тому, чтобы быть линейным и обязательно иметь форму:

 

                   g(x) = cx        (c - constant)                                                  (30)

 

Поэтому g(x²) = cx² = m(Öx²) = m(x) и мы получили, что m сводится к форме:

 

                  m(a_i) = m(u_i) = cu_i² = ca_i*a_i.                                            (31)

 

Таким образом, мы показали, что единственный выбор меры, совместимый с нашим требованием аддитивности – это мера квадрата амплитуды с точностью до постоянного множителя, который, если это желательно, может быть найден в соответствии с требованиями нормировки. (Требование, что полная мера должна быть единицей приводит к тому что константа равна 1).

   Эта ситуация полностью походит на ситуацию в классической статистической механике, где полагают меру траекторий систем в фазовом пространстве, помещая меру непосредственно в фазовое пространство, и затем делая утверждения (типа эргодичности, квази-эргодичности, и т.д.), которым подчиняются "почти все" траектории. Это понятие - "почти все" - зависит здесь также  и от выбора меры, которая здесь взятакак мера Лебега в фазовом пространстве. Может быть, выбор, при котором только исключительные траектории имеют меру, отличную от нуля, противоречит положениям классической статистической механики. Однако выбор меры Лебега в фазовом пространстве может быть оправдан тем фактом, что является единственным выбором, для которого справедливо "сохранение вероятности" (теорема Лиувилля) и, следовательно, единственный выбор, который делает возможным любые разумные статистические умозаключения вообще.

    В нашем случае мы хотим сделать некие утверждения о "траекториях" наблюдателей. Однако для нас траектория является постоянно ветвящейся (преобразующейся из состояния в суперпозицию) с каждым последовательным измерением. Чтобы иметь положение, аналогичное "сохранению вероятности" в классическом случае, потребуем, чтобы принятая однажды мера траектории равнялась сумме мер ее отдельных ветвей в более позднее

время. Такое требование точно соответствует наложенному нами требованию аддитивности и единственным образом приводит к выбору меры квадрата амплитуды. Поэтому наша процедура столь же оправдана, как и процедура из классической статистической механики. Убедившись, что существует уникальная мера, которая удовлетворяет нашим требованиям, мера квадрата амплитуды, продолжим наши умозаключения. Тогда эта мера даст для i,j, ^{. . .} k - того элемента суперпозиции (24)

 

         f_i ^S₁f_j^S₂ ^{. . .} f_k ^S_ry^S_r+1 ^{. . .}y^S_ny⁰[a_i¹_,a_j²_,^{. . .} a_k^r]                                      (32)

 

меру (весовой множитель):

 

         M_i,j, ^{. . .} _k = (a_i a_j ^{. . .} a_k)*( a_i a_j ^{. . .} a_k)                                                        (33)

 

такую, чтобы состояние наблюдателя с конфигурацией памяти [a_i¹_,a_j²_,^{. . .} _,a_k^r] получило меру a_i*a_ia_j*a_j ^{. . .} a_k*a_k = M_i,j, ^{. . .} _k   Отсюда мы видим, что это – результат измерения, а именно,

 

         M_i,j, ^{. . .} _k  = M_i M_j ^{. . .} M_k                                                                                        (34)

 

где:  M_i  = a_i *a_i

так что установленная для специфической последовательности памяти [a_i¹_,a_j²_,^{. . .} _,a_k^r] мера – это просто произведение мер для индивидуальных компонентов этой последовательности.

    Есть прямая связь нашей измерительной структуры с теорией вероятности случайных последовательностей. Если мы рассматриваем M_i,j, ^{. . .} _k  как вероятности для последовательностей, тогда последовательности эквивалентны случайным последовательностям, которые могут быть получены приписыванием каждому терму независимых вероятностей M_i = a_i*a_i. Теперь теория вероятности математически эквивалентна теории измерения, так что мы можем использовать её, имея в виду, что все результаты могут быть выражены на языке теории измерений.

    Так, в частности, если мы полагаем, что последовательности становятся все более и более длинными (выполнено все более и более наблюдений),  то всякая последовательность памяти заключительной суперпозиции, удовлетворит любому заданному критерию для беспорядочно сгенерированной последовательности независимых вероятностей a_i*a_i   (за исключением полной совокупности наблюдения, которая имеет тенденцию к нулю, поскольку число наблюдений становится неограниченным). Следовательно, все средние значения функций по любой последовательности памяти, включая специальный случай повторов, могут быть вычислены из вероятностей a_i*a_i (за исключением ряда последовательностей памяти нулевой меры). Тем самым, мы показали, что статистические притязания Способа 1 представляются наблюдателю подходящим почти во всех элементах суперпозиции (24), и ограничиваются, как только число наблюдений стремится к бесконечности.

    Несмотря на то, что мы рассмотрели только последовательности наблюдений одной и той же величины в идентичных системах, - результат будет одинаково верен и для произвольных последовательностей наблюдений, в чем можно убедиться, описывая более общие последовательности измерений и применяя Правила 1 и 2 тем же самым способом, как представлено здесь.

   Поэтому мы можем суммировать ситуацию для произвольной последовательности наблюдений, когда эти наблюдения сделаны над теми же самыми, или отличными системами в любой последовательности, когда число наблюдений каждой величины в каждой системе является очень большим, следующим образом:

   За исключением последовательностей памяти с почти нулевой мерой, средние значения любых функций по последовательности памяти могут быть приблизительно рассчитаны при помощи независимых вероятностей, даваемых Способом 1 для каждого начального наблюдения системы, и при помощи обычных вероятностей перехода для последующих наблюдений той же самой системы. В пределе, когда число всех типов наблюдений стремится к бесконечности и исключительное множество имеет меру нуль, вычисление

является точным.

   Этот рецепт вычисления средних значений в последовательностях памяти с помощью вероятностей, приписанных индивидуальным элементам, точно совпадает с рецептом обычной теории "внешнего наблюдения" (Способ 1). Более того, такие предсказания подходят почти для всех последовательностей памяти. Поэтому для наблюдателя все предсказания обычной теории будут представляться обоснованными почти во всех его состояниях.

   В частности, принцип неопределенности никогда не нарушается, так как последнее по времени измерение в системе дает всю возможную информацию о её соотнесенном состоянии, так что нет никакой прямой корреляции между любыми более ранними результатами наблюдения и последующими наблюдениями. Любое наблюдение величины B между двумя последовательными наблюдениями величины А (все на той же самой системе) разрушит то единственное соответствие между ранним и более поздним состояниями памяти для результата A. Таким образом, для чередующихся наблюдений различных величин есть фундаментальные ограничения на корреляции между состояниями памяти для одной и той же наблюдаемой величины, и эти ограничения выражают содержание принципа неопределенности.

    В качестве последнего шага рассмотрим последствия допущения взаимодействия между несколькими наблюдательными системами, наблюдающими одну и ту же систему, а также взаимодействующими между собой (общение). Последнее взаимодействие можно рассматривать просто как взаимодействие, которое коррелирует одни части конфигурации памяти одного наблюдателя и другого. Когда эти наблюдательные системы были исследованы с использованием Правил 1 и 2 тем же самым способом, который мы уже представили в этом разделе, было обнаружено, что во всех элементах конечной суперпозиции:

 

1.      Когда несколько наблюдателей отдельно фиксируют одну и ту же величину в системе объекта и затем сообщают результаты друг другу, они находят, что их результаты согласованы. Это согласование сохраняется даже тогда, когда наблюдатель выполняет свое наблюдение после сообщения ему результата другого наблюдателя, уже выполнившего наблюдение.

2.      Если разрешить одному наблюдателю выполнять наблюдение величины А в системе объекта, а затем позволить второму выполнять в этой же системе наблюдение величины B, которая не коммутирует с А, и, наконец, позволить первому наблюдателю повторить его наблюдение A, тогда система памяти первого наблюдателя в общем случае не покажет тот же самый результат для обоих наблюдений. Произошедшее наблюдение другим наблюдателем некоммутативной величины B препятствует возможности какой-либо корреляции между двумя наблюдениями A.

3.      Можно рассмотреть случай, когда состояния двух систем объекта коррелированы, но эти две системы не взаимодействуют. Позволим одному наблюдателю выполнить определенное наблюдение первой системы, затем позволим другому наблюдателю выполнить наблюдение второй системы, и,  наконец, позволим первому наблюдателю повторить свое наблюдение. Тогда обнаружится, что первый наблюдатель всегда получит один и тот же результат оба раза, и наблюдение второго наблюдателя вообще не имеет никакого влияния на результат наблюдений первого. Фиктивные парадоксы типа Эйнштейна, Подольского и Розена [8] , которые касаются таких коррелированных невзаимодействующих систем, легко исследуются и проясняются в представленной схеме.

 

   В пределах представленной структуры могут быть изучены многие другие комбинации нескольких наблюдателей и систем. Результаты представленного формализма "соотнесенного состояния" соответствуют результатам, полученным из общепринятого формализма "внешнего наблюдения" во всех тех случаях, когда применимы обычные механизмы наблюдения.

   В заключение следует сказать, что непрерывное во времени изменение функции состояния сложной системы дает полную математическую модель для процессов, которые включают идеализированного наблюдателя. Когда происходит взаимодействие, результатом его развития во времени является суперпозиция состояний, каждый элемент которой соответствует специфическому состоянию памяти наблюдателя. И вероятностная трактовка обычной концепции "внешнего наблюдения", оцениваемая по состоянию памяти почти во всех состояниях наблюдателя, является обоснованной. Другими словами, чистый Способ 2 волновой механики, без каких бы то ни было начальных вероятностных предположений, приводит ко всем вероятностным понятиям привычного формализма.

 

6. ОБСУЖДЕНИЕ.

 

   Теория, основанная на чистой волновой механике, является концептуально простой, причинной теорией, которая дает предсказания в соответствии с опытом. Она устанавливает процедуру, с помощью которой можно подробно, математически, и в логически последовательной манере исследовать множество иногда запутанных предметов, таких как процесс измерения сам по себе и при взаимосвязи нескольких наблюдателей. Ранее формулировка квантовой теории в формализме обычного, или "внешнего наблюдения", вызывала возражения на том основании, что ее вероятностные особенности постулируются заранее вместо того, чтобы быть непосредственно полученными из теории. Мы полагаем, что настоящая формулировка "соотнесенных состояний" снимает это возражение, вместе с тем сохраняя все содержание стандартной формулировки. В то время как наша теория окончательно оправдывает использование вероятностной интерпретации в качестве помощи для создания практических предсказаний, она формирует и более широкую структуру для понимания последовательности этой интерпретации. В этом смысле можно говорить о формировании метатеории по отношению к стандартной теории. Она выходит за границы обычной формулировки "внешнего наблюдения", однако при этом способна логически рассматривать вопросы несовершенного наблюдения и приблизительного измерения.

    Формулировка "соотнесенного состояния" применима ко всем формам квантовой механики, которые содержат принцип суперпозиции. Поэтому она может оказаться плодотворной структурой для квантования Общей Теории Относительности. Формализм предполагает сначала построить формальную теорию, а потом приложить к ней статистическую интерпретацию. Этот метод должен быть особенно полезен для квантовой интерпретации единых теорий поля, где вообще нет никакого вопроса, о какой бы то ни было изоляции систем объекта и наблюдателей. Все они представлены в единственной структуре, поле. Любые объяснительные правила, вероятно, могут быть установлены только внутри самой теории и только через нее непосредственно.

    Кроме всяческих возможных практических преимуществ теории, она представляется предметом интеллектуального интереса в том, что статистические утверждения обычной интерпретации, которые не имеют статуса независимых гипотез, выводимы (в известном смысле) из чистой волновой механики, которая стартует полностью свободной от статистических постулатов.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

[1] мы используем терминологию и объяснения Дж. фон Неймана, «Математическая основы квантовой механики», перевод Р.Т.Вейер (Принстон, I955).

(Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, translated by R.T.Beyer (Princeton University Press, Princeton, I955).

[2] см. ссылку [1] – гл.4, абзац 4.

 

[3] См. A.Эйнштейн: The Meaning of Relativity (Princeton University Press,

Princeton, 1950), third edition, p. 107.

 

[4] См. Л. Ландау и Е. Лифшиц, «Классическая теория поля», перевод М. Hamermesh (Addison-Уэсли пресс ", Кембридж, 1951), стр.343.

 

[5]  См., в частности, обсуждение этого вопроса Н. Бора и Л. Розенфельд, Kgl. Danske Videnskab, Selskab, Mat.-fys. Medd. 12, № 8 (1933).

 

[6]  Пояснение Эверетта:

Этот пример представляет собой модель приблизительного измерения. Однако «соотнесенное состояние» системы после взаимодействия x ^r'(q) обычно не может быть выведено из оригинального состояния системы f применением некоторого проекционного оператора E .

Доказательство: предположим, напротив, что

 

x ^r'(q) = NEf(q) = N'f(q)h(r' - qt) , где N, N'' являются константами

нормализации. Тогда:

 

E(NEf(q)) = NE²f(q) = N''f(q)h²(r' - qt)

 

и

 

 E²f(q) = (N''/N)f(q)h²(r' - qt)

 

Но условие, E² = E, которое является необходимым для того, чтобы E было проекцией, подразумевает, что N'/N''h(q) = h²(q)  , а это в общем случае является ложным.

 

[7]  Пояснение Эверетта:

Нужно понимать, что y ⁰ _{[. . .ai]}   – различны для каждого i состояния. Для более точного указания следовало бы написать y ⁰ _I [^{. . .}a_i]  , но никакой путаницы не возникает, если мы просто позволим  себе запись y ⁰_i   (обозначили символ конфигурации памяти индексом).

 

[8] Einstein, Podolsky, and Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935). Для детального обсуждения физики наблюдения см. главу Н.Бор в Albert Einstein, Philosopher-Scientist (The Library of Living Philosophers, Inc., Evanston, 1949).